认识算筹

长沙左家公山等楚汉墓葬

湖南省文物管理委员会文物工作队在长沙市郊左家公山发掘一座完整的战国木椁墓，其出土40枚算筹是目前所知发现最早的算筹。湖南常德德山35号楚墓出土竹制算筹1束，共10余根，呈长条形，每根长约13厘米、宽0.7厘米、厚0.3厘米，出土于边箱内，呈黑色，大部分已腐朽。湖北江陵张家山247号西汉墓出土一批算筹，同时出土算数类简牍《算数书》，这些地区算筹的出土说明战国时期楚国的数学高度发展。

战国中山国“成公”墓

河北省平山县战国中山国遗址“成公”墓（M6）的3号陪葬墓出土了骨质算筹。发掘报告称：“1捆45根（M6PM3：7—1～45）。磨光圆棍形，上下顶面平滑，颜色淡黄色居多，也有一些发白或淡青色的。标本M6PM3：7—1，长12.6厘米、径0.3厘米。”这是成套实用算筹的典型代表。

长沙马王堆三号西汉墓

湖南长沙马王堆三号西汉墓中出土了一套陆博。在同墓出土的遣策中，有八枚简记载陆博及其用具，其中一枚记曰：“象算三十枚。”对照实物可知，即这套陆博器具中的圆棒形象牙算筹。这套算筹实物共42枚，有长短两种：长者12枚，长22.7厘米、直径0.4厘米；短者30枚，长16.4厘米、直径0.3厘米，遣策所记当是指30枚短者。

陕西岐山凤雏村西周遗址

1977年至1978年，陕西岐山县凤雏村西周早期大型宫室建筑基址西厢2号房间的H11和H31两个窖穴出土了959枚圆柱形骨角器，同时出土的有卜甲和卜骨17000余片。当时并不明确这些骨角器的用途。后来刘亮经过深入考证研究，认为是西周早期周王室用来演算周易的一套工具，应是蓍草的更新物和替代物，即周初的角质算筹。这些算筹大部分被火烧发黑，有的一端呈圆锥形，有的两端均呈圆锥形。一般长度在1.3—2.5厘米，径0.5—0.8厘米之间。

神禾原战国秦陵墓

神禾原战国秦陵墓出土的象牙算筹，根据筹身施彩的差别可分为红白筹和红黑筹两个主要类别，其与《九章算术》刘徽注释中提到的古代用于正负数运算的“赤黑算”似有关，应是此类计算工具的早期形态。这个发现将中国古代对正负数的认识与实际运用时间提早到了战国晚期，是数学发展史研究的一大收获。它是战国秦汉时期应用数学发展到一定程度的产物，也在客观上促进了这一时期数学中关于正负数计算的理论化、规则化。神禾原秦陵墓出土的涂色算筹将中国古代使用正负数概念进行运算的时间提早至战国晚期，相比于《九章算术》（约成书于两汉之间）中记载的“正负术”早两百余年，与国外最早由古印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，598—665年以后）提出的负数四则运算法则相比早八百余年。

内蒙古忽洞坝辽墓

1980年春，内蒙古乌兰察布盟卓资县碌碡平乡忽洞坝村一座辽代古墓出土20根象牙算筹。这套象牙算筹呈长条形，两头稍细、中间略粗，其中7根长11厘米、粗0.4厘米，5根长12厘米、粗0.5厘米，8根长13厘米、粗0.4厘米。这也是北方游牧民族墓葬中的首次发现，异常珍贵。

除以上较为完整的出土秦汉算术书外，阜阳双古堆汉简《算术书》残文、香港中文大学文物馆藏河堤简、银雀山汉简《算书》残文、肩水金关汉简、敦煌文书等文献也有算术相关内容；西北汉简、湖南古井简、敦煌文书、楼兰文书中多次见到“九九表”，清华大学藏战国简更有目前所见最早的算表，是迄今所见中国最早的计算器与数学文献。